Rezolvarea unui sistem (Gauss-Jordan)

Exercițiu rezolvat. Să se rezolve prin metoda eliminării complete următorul sistem de ecuații:

mate046
Vom folosi următoarea schemă
mate047
Să scriem prima formă a matricei A și a lui x așa cum reiese din sistemul de ecuații dat:
mate048
cu albastru am marcat primul pivot. Așa cum am prezentat în postarea anterioară, după alegerea pivotului a ) elementele de pe linia pivotului se împart la pivot; b) coloana pivotului se completează cu zero:
mate049
Pentru a calcula ceea ce vom pune în locul valorii 1 (numărul pe care l-am colorat în verde în tabelul de mai sus, vom folosi formula
mate045
deci în cazul nostru noua valoare va fi dată de:
mate050
Deci tabelul va arăta astfel:
mate051
Folosind același procedeu vom calcula și termenii pentru celelalte căsuțe rămase libere în tabel:
mate052
Am ales noul pivot: -9 (marcat cu albastru în imaginea de mai sus. Din nou elementele de pe linia pivotului se împart la pivot și coloana pivotului se completează cu zero:
mate060
Elementul ce va înlocui cifra 4 din dreapta sus se va calcula după formula expusă mai sus:
mate056
Deci după ce introducem noua valoare în tabel vom obține:
mate061
În mod asemănător vom calcula și restul valorilor ce vor fi introduse în tabel:
mate059
Vom alege ca pivot pe 3 (dreapta jos în noua formă a matricei A). Ca și la etapele anterioare, elementele de pe linia pivotului se împart la pivot și coloana pivotului se completează cu zero:
mate062
Pentru a calcula numărul ce-l vom pune în locul ? vom folosi formula:
mate063
Deci vom obține:
mate064
Calculând cu aceeași formulă și ceilalți doi termeni vom obține:
mate065
Deci soluțiile vor fi: x1 = 3 ; x2 = 4 ; x3 = 5

Exerciții propuse:

Să se rezolve sistemele de ecuații cu ajutorul metodei Gauss-Jordan: