Calcularea volumului

În postarea anterioară am calculat aria unui triunghi de coordonate A(3,6) , B(1,1) şi C(8,1). Să presupunem că, în grădina în care am trasat acest triunghi, trebuie să săpăm o groapă  cu adâncimea de 5m pornind de la acest triunghi. Forma acestei gropi va fi o prismă triunghiulară:

021

Vom păstra notaţia pentru triunghiul de sus (vârfurile vor fi A, B, C), iar triunghiul de jos îl vom nota respectiv cu A’, B’ , C’. Pentru simplificarea prezentării vom considera punctul 0 al axei 0z la triunghiul A’B’C’. Având în vedere că la un cm pe desen corespund 5 m în realitate, înseamnă că pe desen adâncimea gropii va fi de 1. Atunci desenul se va modifica astfel:

022

Dorim să calculăm volumul gropii. Vom folosi formula de calcul a volumului unui tetraedru cu ajutorul determinantului pentru tetraedrele: AA’B’C’ , ABC’C , ABC’C.

Voi calcula volumul pentru tetraedrul AA’B’C’. Coorodnatele punctelor le voi exprima în metri (5 m corespunzând fiecărui cm pe desen).

Având un desen 3D, fiecare punct va avea 3 coordonate. Pentru A’, B’ , C’ am considerat z=0, iar pentru A, B, C considerăm z=1cm ∼ 5m – adâncimea gropii. În aceste condiţii, avem:

  • A(3,6,1) → A(15,30,5)
  • B(1,1,1) →B(5,5,5)
  • C(8,1,1) →C(40,5,5,)
  • A'(3,6,0) →A'(15,30,0)
  • B'(1,1,0) →B'(5,5,0)
  • C'(8,1,0) →C'(40,5,0)

Reamintesc formula pentru calcularea volumului unui tetraedru:

023

Volumul tetraedrului AA’B’C’ va fi:

024

Dăm factor comun (pe 5) din primele 3 coloane:

025

Apoi vom descompune determinantul după a treia coloană (am ales această coloană pt că are cele mai multe zerouri)(-1 va fi la puterea 3+1 deci, fiind o putere pară va fi egal cu unu):

026

Determinantul va fi egal cu 35 deci volumul va fi 729,16 m2. Deoarece calculele sunt asemănătoare cu ceea ce am prezentat, lăsăm ca temă calcularea volumului pentru celelalte 2 tetraedre.

 

This entry was posted in exemple and tagged , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *